シーツやタオルケット、毛布などは、洗濯して乾かしてから資源物の日に出すことができる自治体があります（例えば横浜市）。
汚れたものや破れたものは燃やすゴミに出してください。自治体によっては毛布を資源物としては回収せず、燃やすゴミの日に出すように決められているところもありますので、前もって確認が必要です。
マットレス・敷布団などの大型のものは粗大ゴミとして出すことになります。自治体の受付センターに事前に電話等で連絡し、収集場所と収集日、手数料を確認してください。
トラックや大型車をお持ちなら、自分で自治体の処分場に運ぶ方法もあります。事前に電話して申し込みしましょう。市町村によって手数料に差があります。
自力で運べない場合は不用品回収業者に依頼するのも良いでしょう。
良い寝具なので処分するのはもったいないと思うなら、布団専門店に打ち直しを頼んで、新しい布団や座布団へ作り変えるのも一つの方法です。
参考サイト
敷布団の処分の仕方 - Yahoo!知恵袋
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1310278183
横浜市 資源循環局 古布
http://www.city.yokohama.lg.jp/shigen/sub-shimin/dashikata/das13.html
古い布団の処分方法を教えてください。 - その他(生活お役立ち) - 教えて！goo
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7496196.html
